Взаимодействие темной материи с гравитационным полем галактик

Автор: Шаповалов Е. В.

18.02.2019

В данной статье предпринята попытка модернизации классической теории тяготения Ньютона с целью заменить ее представление гравитационного поля новым представлением, учитывающим гравитационные эффекты, оказываемые темной материей. Такая поправка имеет смысл только для больших масштабов и на больших расстояниях где эффекты темной материи заметно проявляются, в масштабах же звездных систем таких как солнечная эти эффекты отсутствуют, либо проявляют себя как величины столь малых порядков что их учет на практике не имеет значения.

Основная концепция, положенная в данном исследовании – это гипотеза об усилительных свойствах темной материи. Предполагается что усиление гравитационных полей темной материей создает эффект добавочной, скрытой массы. Основная цель данной статьи – проверка этой гипотезы.

Методы исследования: составление математической модели, математическое моделирование с использованием системы компьютерной математики.

Ключевые слова: Гравитация, темная материя, кривая вращения галактики, теория тяготения, Млечный Путь.

1. Взаимодействие темной материи с гравитационным полем галактики

1.1. Гипотеза о природе темной материи

1) Существует материальная субстанция, распределенная в пространстве, которая оказывает влияние на гравитационные поля массивных объектов. Эта субстанция именуется в современной науке – темной материей.

2) Темная материя усиливает гравитационное поле массивного объекта.

3) Эффект усиления проявляется в масштабах сопоставимых с размерами галактик.

Пункт 1, подразумевает что помимо видимой материи, обладающей массой, которая измеряется известными способами, существует невидимая материя плотность распределения, которой в пространстве в общем неизвестна.

Пункт 2, подразумевает что темная материя есть среда способная за счет присущих ей свойств усиливать гравитационное поле массивных объектов. Темная материя как мы здесь предполагаем есть свойство самого пространства, а сама ее структура возможно не имеет гравитационной массы. Эффект усиления внешнего поля средой весьма распространен в природе, приводя примеры можно отметить усиление магнитных полей ферромагнетиками, оптических электромагнитных полей инверсно заселенными средами, как это, имеет место в лазерах.

Резюмируя по данному пункту можно сказать что мы считаем темную материю средой усиливающей внешние по отношению к ней гравитационные поля. Следовательно, если гравитационное поле подчиняется квантованию т.е. может быть представлено на квантовом уровне то темная материя способна генерировать кванты гравитации имеющие ориентацию внешнего гравитационного поля.

Пункт 3, подразумевает что гравитационные поля массивных объектов на расстояниях значительно меньших размеров галактик, практически не отличаются от их значений, определяемых законом тяготения Ньютона. Эффект усиления проявляет себя только на очень больших масштабах расстояний, измеряемых единицами и десятками килопарсек. Это свидетельствует о малости коэффициента усиления по отношению к привычным нам масштабам расстояний.

Цель данной статьи – разработать математическую модель для проверки вышеописанного пункта 2, то есть получить в некотором приближении функцию коэффициента усиления гравитационного поля темной материей.

Полученные теоретические результаты сравнивались с экспериментальными кривыми вращения звезд в галактике “Млечный Путь”.

1.2. Закон всемирного тяготения с учетом и без учета темной материи

Закон всемирного тяготения Ньютона, записывается в виде:

где, G = 6.674·10-11 м3·кг-1·с-2 - гравитационная постоянная;

M, m - массы взаимодействующих объектов;

R - расстояние между взаимодействующими объектами.

Как известно закон всемирного тяготения был получен экспериментальным путем Ньютоном, а также из данных астрономических наблюдений за объектами солнечной системы.

Закон всемирного тяготения Ньютона, с поправкой на темную материю, которая предположительно усиливает гравитационное поле имеет вид (1.2):

где,

α(r) – функция коэффициента усиления гравитационного поля темной материей;

 - интегральный коэффициент усиления гравитационного поля темной материей.

Свойства интегрального усиления такие: на расстояниях порядка размеров солнечной системы где был проверен закон всемирного тяготения (1.1) γ(R)≅1 и (1.2) переходит в (1.1). На расстояниях значительно превышающих размеры солнечной системы составляющих единицы и десятки килопарсек γ(R)>1.

1.3. Теория интегрального коэффициента усиления

Модели дисковой и спиральной галактик представлены на рис.1.1, рис.1.2 соответственно. Для дисковой галактики (рисунок 1.1) характерно отсутствие явных пустот, для спиральной галактики характерно наличие ряда рукавов образующих спирали между которыми имеются пустоты заполненные разреженным галактическим газом и практически не содержащие звезд. Спиральные рукава заменены в модели на рисунке 1.2. концентрическими кольцами, что сделано для упрощения математической модели, однако не должно привести к значительным расхождениям с реальной моделью если расчеты проводить для больших масштабов расстояний.

Рисунок 1.1. Упрощенная модель дисковой галактики
Рисунок 1.2. Упрощенная модель спиральной галактики
В создаваемой модели все расстояния  R выражены в относительных единицах по отношения к радиусу галактики т.е.:

где,

Rabs – расстояние в абсолютных единицах;

Rgal – эффективный радиус галактики в абсолютных единицах.

Относительные единицы приняты для удобства расчетов чтобы оперировать единичными значениями, а не числами с высокими степенями, разница устраняется за счет умножения каждой величины на соответствующий коэффициент пропорциональности.

Для расчета интегрального коэффициента усиления γ(R) будем пользоваться наиболее простой моделью дисковой галактики.

Коэффициент усиления гравитационного поля темной материей, мы задаем функцией:

Где,

b1 – коэффициент пропорциональности; 

FGF(R) – гравитационное поле в данной точке пространства;

ρdm (R)– плотность “активной” (т.е. участвующей в процессе усиления) темной материи.

Определим эти функции, гравитационное поле (1.5):

Где, FNG(R) – гравитационное поле, определяемое законом тяготения Ньютона; интеграл определяет результат усиления ньютоновского гравитационного поля темной материей в данной точке пространства удаленной от источника поля на расстояние  R. В свою очередь ньютоновское гравитационное поле определяется нами как функция (1.6):

где,

a – коэффициент необходимый для устранения проблемы сингулярности поля при R→0. Все параметры M(R), R, a относятся к гравитационному полю галактики т.е. к образованию состоящему из миллиардов звезд, для которого свойственна такая картина (1.6), и плотность материи не возрастает до бесконечности при R→0 (как и реальное гравитационное поле), а определяется эмпирическим правилом (1.10). Отчет расстояний ведем от некоторой малой константы a, ее значение как показывает моделирование в относительных единицах для хорошего согласования с экспериментальными данными составляет порядка 0.03-0.09 относительных единиц и зависит в общем как показывает моделирование от размеров галактики.

Плотность наблюдаемой видимой материи в некоторой точке пространства, определяется:

Где,

ρvm(R) – плотность видимой материи;

ΔM(R) – приращение массы видимой материи в данной точке пространства;

ΔV(R) – приращение объема видимой материи в данной точке пространства;

Эти функции могут быть определены следующим образом:

Где, c1 – коэффициент пропорциональности;

R – расстояние точки от центра галактики;

ΔR – приращение расстояния;

h(R) – толщина диска галактики в данной точке.

Из выражений (1.8) и (1.9) получаем известный профиль плотности видимой галактической материи [1] (1.10):

Плотность “активной” темной материи, определим выражением (1.11):

Где,

c2 – коэффициент пропорциональности.

С точки зрения автора “активная” (т.е. участвующая в процессе усиления) темная материя должна иметь наименьшую плотность в центре галактики и возрастать при движении к ее краю стремясь в пределе к постоянной величине. Как следует из выражения (1.11) этот предел равен условному коэффициенту c2. Плотность темной материи, определяемая выражением (1.11) формирует “колодец” дно которого приходится на центр галактики. На рисунке 1.3 для наглядности, функция (1.11) построена в цилиндрической системе координат.

Рисунок 1.3. "Колодец" темной материи

В выражении (1.5) определим гравитационную массу галактической материи (1.12):

Функция (1.12) с хорошей для практики точностью и далее при выполнении моделирования в пункте 2 это будет показано может быть заменена функцией (1.13):

Где,

e≅2.718 – число e, основание натурального логарифма.

Коэффициент c3 в (1.13) можно определить и в абсолютных единицах то есть c3=Mgal, тогда при R=1 отн. ед. (то есть один радиус галактики) M(R)=Mgal,  Mgal – масса галактики.

С учетом введенных определений в выражении (1.3) имеем:

Где,

b= b 1·· c3 · c2  – итоговый коэффициент пропорциональности, определяемый свойствами темной материи.

Используя (1.2) делаем замену   тогда для интегрального коэффициента усиления получим дифференциальное уравнение (1.15):

Решение дифференциального уравнения (1.15) имеет вид (1.16):

Построим график функции γ(R) при b=3.8 (это значение взято при моделировании кривой вращения в пункте 2), результат показан на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4. Функция коэффициента усиления гравитационного поля темной материей в относительных единицах, по отношению к галактическому радиусу: R = R/Rgal

Вспоминая что уравнения записаны в относительных по отношению к галактическому радиусу единицах, запишем (1.16) в абсолютных координатах R, применив подстановку: R=R/Rgal (т.е. теперь в (1.17) R это уже расстояние в абсолютных единицах), тогда для интегрального коэффициента γ(R) окончательно получим (1.17):

Полученный результат (1.17), имеет один подстраиваемый параметр b, который и выбирается при моделировании кривой вращения галактики для согласования модели с экспериментальными данными.

2. Моделирование кривой вращения звезд в галактике “Млечный Путь”

В данном пункте представлен только окончательный результат расчетов математической модели кривой вращения галактики “Млечный путь”. Полностью вся модель кривой вращения, приведена в приложении A. В приложении B описанная здесь модель была применена к выборке из 10 галактик.

Кривая вращения галактики определяется выражением (2.1).

Ньютона-Кеплеровская кривая вращения определяется выражением (2.2)

Где,

γ(R) – интегральный коэффициент усиления, определяемый выражением (1.17);

Mgal(R) – масса галактической материи заключенная в диске на расстоянии радиуса R.

Для удобства представления (рисунок 2.1), скорости переведены в км/с, расстояния в килопарсеки.

Результаты расчетов кривых вращения галактики согласно разработанной модели с учетом темной материи по выражению (2.1) и без учета темной материи по выражению (2.2), представлены на рисунке 2.1.

Расчет представленный графиком на рисунке 2.1. выполнен при следующих параметрах: b=3.8, значение параметра a=0.07 (1.6).

Положение Солнца в галактике Млечный Путь отмечено метками скорости и расстояния относительно центра галактики Млечный Путь – vsun, Rsun (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1. Теоретическая кривая вращения галактики "Млечный Путь" с учетом и без учета темной материи

Экспериментальные кривые вращения галактики “Млечный путь” представлены на рис.2.2, рис.2.3 согласно [2].

Рисунок 2.2. Аппроксимированная экспериментальная кривая вращения звезд галактики “Млечный Путь” [2]

Рисунок 2.3. Экспериментальная кривая вращения звезд галактики “Млечный Путь” [2]

На рисунке 2.4 кривая вращения (2.1) была рассчитана при различных параметрах b коэффициента усиления γ(R) взятого согласно (1.17). Расстояния от центра галактики Млечный Путь взяты до 100 килопарсек.

Рисунок 2.4. Результат расчета кривых вращения галактики при параметрах для γ(R), b=2.9, b=3.35, b=3.8

3. Темная материя на разных масштабах

На рисунке 3.1 показана зависимость от расстояния рассчитанного коэффициента усиления γ(R) определяемого выражением (1.17) для галактики Млечный Путь. Расстояния по горизонтальной шкале даны в радиусах солнечной системы, за который принят радиус орбиты Плутона то есть Rsun_system=5.925 миллиардов километров. Из диаграммы на рисунке 3.1 видно, что заметное отклонение коэффициента усиления γ(R) от единицы начинается с расстояний от центра массивного объекта (звезды или центра галактики) равном 20-ти миллионам радиусов солнечной системы (отмечено на рисунке 3.1 меткой Rdev). В пределах же нашей солнечной системы в выражении (1.2) мы будем иметь γ(R) = 1, и сила тяготения не отличается от ее значения, определяемого законом всемирного тяготения Ньютона (1.1). На расстоянии равном радиусу галактики Млечный Путь (отмечено на рисунке 3.1 меткой Rgal) коэффициент усиления γ(R) = 2.434 что уже является заметным отклонением, который объясняет эффект скрытой массы. На расстоянии двух галактических радиусов γ(R) = 5.31.

Рисунок 3.1. Зависимость коэффициента усиления гравитационного поля γ(R) от расстояния в логарифмическом масштабе

Заключение

1. Сформулирована гипотеза об усилительных свойствах темной материи, даны ее формальные теоретические представления.

2. На основании составленной упрощенной математической модели галактики “Млечный Путь” получено хорошее согласование теоретического расчета кривой вращения звезд с экспериментальными данными.

Список литературы

1. Gunn, J. and Gott, J.R. (1972), Astrophys. J. 176.1

2. Путенихин П. В., Темная материя Млечного Пути, SciTecLibrary.ru, 2015, URL: http://www.siteclibrary.ru/rus/catalog/pages/14729.html

3. https://en.wikipedia.org/wiki/Modified_Newtonian_dynamics

4. http://en.wikipedia.nom.si/wiki/Scalar%E2%80%93tensor%E2%80%93vector_gravity

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Млечный_Путь